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向量丛

向量丛是一个几何构造,对于拓扑空间(或流形,或代数簇)的每一点用互相兼容的方式附上一个向量空间,所用这些向量空间"粘起来"就构成了一个新的拓扑空间(或流形,或代数簇)。

数学上,向量丛是一个几何构造,对于拓扑空间(或流形,或代数簇)的每一点用互相兼容的方式附上一个向量空间,所用这些向量空间"粘起来"就构成了一个新的拓扑空间(或流形,或代数簇)。一个典型的例子是流形的切丛:对流形的每一点附上流形在该点的切空间。或者考虑一个平面上的光滑曲线,然后在曲线的每一点附上和曲线垂直的直线;这就是曲线的"法丛"。

这个条目主要处理有限维纤维的实向量丛。复向量丛也在很多地方有用;他们可以视为有附加结构的实向量丛的特例。

向量丛是更一般的纤维丛的特例 。

假设E和M是两个微分流形,其中M是m维流形。 是M上的一组坐标卡 (即U_i 同胚于m维欧氏空间的某个开集)。假设它们之间有可微映射 π:E→M, 满足以下两个条件,就称E为M上的向量丛。

(1)局部平庸条件:

π^(-1)(U_i)≌U_i×R^n,即在M的每个局部邻域上,E可看成是某个n维欧氏空间与底流形的开集的笛卡尔积--从而E局部上是一个(n+m)的欧氏空间的开集。特别地,对每一点p∈U_i,p在π下的原像 是一个n维欧氏空间,π^(-1)(p)≌R^n

(2)相容条件:在非空交集 U_i∩U_j上, 存在向量空间同构映射φij:π^(-1)(U_i)≌U_i×R^n→π^(-1)(U_i)≌U_i×R^n, (p,v)→(p,φij(v)).

特别地, 如果U_i∩U_j∩U_k非空,那么复合映射φij φjk φki=1(这里1是恒同映射)。

n称为向量丛E的秩。秩1的向量丛称为线丛。

φij称为转移函数(也称转换函数,过渡函数)。它反映了向量丛整体非平庸性,体现了向量丛扭曲的程度。

向量丛π:E→M 的截面,就是指一个光滑映射 σ:M→E,使得πσ=1(恒同映射)。由于M上每个点在σ下的像都是对应的n维向量空间中的一个向量,所以截面整体上就定义了M上的一个光滑向量场 。 因此可以认为向量场和向量丛的截面是同一件事。

有了截面之后,我们就可以看出向量丛整体是否拓扑平庸, 也就是看出向量丛的扭曲程度。

比如带边莫比乌斯带就是圆圈S^1上的非平庸向量丛的截面(即某个光滑向量场)。

给定两个向量丛π:E→M,和π':E'→M, 我们可以构造出新的向量丛:

(1)E的对偶丛E∨

(2)直和丛EE'

(3)张量丛EE'

(4)对称积S^r(E)

(5)外积∧^r(E)

等等

此外,流形M上自带了切丛余切丛。这是微分几何中最重要的两个向量丛。

线丛也是一种特殊的向量丛,它和自身的对偶张量一下变成了平凡丛。全体线丛在张量下构成一个群, 称为Picard群。线丛也称为可逆丛。

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