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分形研究

1967年,美国的《科学》杂志上发表了一篇题为《英国的海岸线究竟有多长?》的论文。这篇论文对海岸线的本质作了独特的分析,以至当时的整个学术界为之震惊。这篇论文也成为了作者曼德布罗特(Mandelbrot)思想的转折点,分形的理论就从此萌芽并迅速发展起来。曼德布罗特,也成为了分形论的奠基人。

我们查阅相关的图书,也找到一些严格的数学定义。但还是曼德布罗特本人提出的定义更简洁和容易让人接受:

"A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way"(如果一个图形的部分以某种方式与其整体本身相似,这个图形就称为分形。)

这就是分形的最基本定义。

从分形研究的进展看,近年来,又提出许多新的概念,其中包括,自仿射分形、自反演分形、递归分形、多重分形、胖分形。就我们现在所学的知识来说还无法研究。

分形理论是一门新兴的横断学科,它给自然科学、社会科学、工程技术、文学艺术等极广泛的学科领域,提供了一般的科学方法和思考方式。就目前所知,它有很高程度的应用普遍性。这是因为,具有标度不变性的分形结构是现实世界普遍存在的一大类结构。此处结构的含义十分丰富,它不仅指研究对象的空间几何形态,而是一般地指其拓扑维数(几何维数)小于其测量维数的点集,如事件点的分布,能量点的分布,时间点的分布,过程点的分布,甚至可能是意识点、思维点的分布。

分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉,会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动),这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹,由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率,就可以发现原以为是直线段的部分,其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续,但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2,大大高于它的拓扑维数 1。

在某些电化学反应中,电极附近成绩的固态物质,以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中,粘在藻类植物上的颗粒和胶状物,不断因新的沉积而生长,成为带有许多须须毛毛的枝条状,就可以用分维。

自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈,每个枝杈继续分为细杈……,至少有十几次分支的层次,可以用分形几何学去测量。

有人研究了某些云彩边界的几何性质,发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵,更受地形概貌影响,大于1000公里时,地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制,中间有三个数量级的无标度区,这已经足够了。分形存在于这中间区域。

近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中,都实际测得了混沌吸引子,并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域

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