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二阶微分方程

对于一元函数来说,如果在该方程中出现因变量的二阶导数,我们就称为二阶(常)微分方程,其一般形式为F(x,y,y',y'')=0。在有些情况下,可以通过适当的变量代换,把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。

二阶微分方程的一般形式是

在有些情况下,可以通过适当的变量代换,把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程,相应的求解方法称为降阶法。下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程。 [1]

1)y''=f(x)型

方程特点:右端仅含有自变量x,逐次积分即可得到通解,对二阶以上的微分方程也可类似求解。

例1 求方程y''=e2x-cosx的通解。

解:原方程两边积分两次,得通解

2)y''=f(x,y')型

方程特点:右端函数表达式中不含有未知函数y。

由于y'也是x的未知函数,可设p(x)=y',则原方程可降阶为

3)y''=f(y,y')型

方程特点:右端函数表达式中不含有自变量x。

令y'=p(y),利用复合函数求导法则

一般形如

当f(x)=0时,方程

1)二阶常系数线性齐次微分方程的解 [1]

定理1(线性齐次微分方程通解的结构定理)如果函数y1(x)与y2(x)是(2)的两个线性无关的解,则函数

微分方程

2)二阶常系数线性非齐次微分方程的解 [1]

定理2(线性非齐次微分方程通解的结构定理)如果y0是非齐次微分方程(1)的一个特解,而y*是对应的齐次微分方程(2)的通解,则y=y0+y*是方程(1)的通解。

对于比较简单的情形,可以用观察法找特解。但对于比较复杂的情形就不太容易了。为此,下面对于f(x)的几种常见形式,以表2列出找其特解的方法(待定系数法)(表2中Pm(x)=a0+a1x+a2x2+...+amxm为已知的多项式)。

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