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分析力学

分析力学是理论力学的一个分支,它通过用广义坐标为描述质点系的变数,运用数学分析的方法,研究宏观现象中的力学问题。分析力学是独立于牛顿力学的描述力学世界的体系。分析力学的基本原理同牛顿运动三定律之间可以互相推出。

分析力学理论力学的一个分支,是对经典力学的高度数学化的表达。

经典力学最初的表达形式由牛顿给出,大量运用几何方法和矢量作为研究工具,因此它又被称为矢量力学(有时也叫“牛顿力学”)。拉格朗日哈密顿雅可比等人使用广义坐标变分法,建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法。同矢量力学相比,分析力学的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为复杂的问题,运用分析力学可以较为简便的解决。分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动力学系统中,在量子力学和非线性动力学中都有重要应用。

不同的系统所遵循的运动微分方程不同;研究大量粒子的系统需用统计力学量子效应不能忽略的过程需用量子力学研究。但分析力学知识在统计力学和量子力学中仍起着重要作用。

分析力学(analytical mechanics)一般力学的一个分支,以广义坐标为描述质点系的变数,以牛顿运动定律为基础,运用数学分析的方法研究宏观现象中的力学问题。1788年出版的 J.-L.拉格朗日的《分析力学》一书,为这门学科奠定了基础。

从十八世纪开始,在力学发展史上又出现了与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系,即分析力学。这个体系的特点是对能量的分析代替对力矩的分析。为了避免未知理想约束力的出现,分析力学的一种方法是在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的关系,导出了比矢量力学一般方法程式化更为明显的动力学方程-拉格朗日第一类方程。分析力学的另一种方法是从独立坐标出发,利用纯数学分析方法,将用独立坐标描述的动力学方程用统一的原理与公式进行表达,克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点。这种统一的方程即拉格朗日第二类方程。上述工作均由拉格朗日(J.L.Lagrange)于1788年奠定的。以拉格朗日方程为基础的分析力学,称为拉格朗日力学。1834年哈密顿(Hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式,将动力学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理,从而建立了哈密顿力学。 对于一个动力学系统,尽管建立该系统的拉格朗日第二类方程或哈密顿正则方程不依赖于技巧,但它的数学推导过程相当繁琐,因此用来建立自由度比较多的系统动力学方程相当困难,并且容易出错。利用拉格朗日第一类方程解决系统的动力学问题,与矢量动力学的一般方法一样,尽管建立方程比较容易,但其求解规模很大。正是由于这个原因,在力学发展史上因拉格朗日第一类方程并不比矢量动力学一般方法优越,而被搁置一边。

随着近代计算技术的发展,解决具有程式化特征的数学问题,规模再大也能迎刃而解。故解决动力学问题的拉格朗日第一类方程又引起广泛的注意。可以这样说如今在解决复杂动力学问题成功的计算机辅助分析软件中,均采用拉格朗日第一类方程与加速度约束方程作为系统的动力学模型

1788年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析力学的著作。分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上。两者结合,可得到动力学普遍方程,从而导出分析力学各种系统的动力方程。

1760~1761年,拉格朗日用这两个原理和理想约束结合,得到了动力学的普遍方程,几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。

1834年,哈密顿推得用广义坐标广义动量联合表示的动力学方程,称为正则方程。哈密顿体系在多维空间中,可用代表一个系统的点的路径积分变分原理研究完整系统的力学问题。

从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始,到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止,基本上已完成了线性非完整约束的理论。

20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究,对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。

分析力学又分为拉格朗日力学哈密顿力学。前者以拉格朗日量刻划力学系统,运动方程称为拉格朗日方程,后者以哈密顿量刻划力学系统,运动方程为哈密顿正则方程。

分析力学是适合于研究宏观现象的力学体系,它的研究对象是质点系。质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型,例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系,质点数可由一到无穷。又如太阳系可看作自由质点系,星体间的相互作用是万有引力,研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学,同分析力学密切相关,在方法上互相促进;工程上的力学问题大多数是约束的质点系,由于约束方程类型的不同,就形成了不同的力学系统。例如,完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。

分析力学研究的主要内容是:导出各种力学系统的动力方程,如完整系统的拉格朗日方程正则方程,非完整系统的阿佩尔方程等;探求力学的普适原理,如汉密尔顿原理、最小作用量原理等;探讨力学系统的特性;研究求解运动微分方程的方法,例如,研究正则变换以求解正则方程;研究相空间代表点的轨迹,以判别系统的稳定性等。

分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同,牛顿法把物体系拆开成分离体,按反作用定律附以约束反力,然后列出运动方程

分析力学中也可用变分原理(如汉密尔顿原理)导出运动微分方程。它的优点是可以推广到新领域(如电动力学)和应用变分学中的近似法来解题。从20世纪60年代开始,为了设计复杂的航天器和机器人的需要,发展多刚体系统,并且跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程,所建立的方程能方便地应用电子计算机进行计算。

量子力学未建立以前,物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。从1923年起,量子力学开始建立并逐步完善,才在微观现象的研究领域中取代了分析力学。但是,掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。例如用分析力学知识求出汉密尔顿函数,再化成汉密尔顿算符,又自汉密尔顿-雅可比方程化成波动力学的基本方程薛定谔方程等。

爱因斯坦提出相对论时,也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光速的相对论力学。

分析力学的基本原理主要是虚功原理和达朗伯原理,而前者是分析静力学的基础;前后两者结合,便可得到动力学普遍方程,从而导出分析力学各种系统的动力方程。研究对象是质点系。质点系可视为一切宏观物体组成的力学系统的理想模型。例如刚体、弹性体、流体等以及它们的综合体都可看作质点系,质点数可由 1到无穷。又如太阳系可看作自由质点系。研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学同分析力学密切相关,在方法上互相促进。分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越,因为有了约束方程,系统的自由度就可减少,运动微分方程组的阶数随之降低,更易于求解。

分析力学跟理论力学原则上讲是一样的,不过在一般教材里,理论力学会先讲一些普通力学的知识,最后一章才讲分析力学,也就是说:理论力学是简单易学的分析力学,较为初等的分析力学。

哈密顿原理(应该就是上文的汉密尔顿原理)是分析力学中的一条公理,无法再用更基本的理论推导出,其正确性只能由其解决的问题来证明。

下面介绍完整有势系的哈密顿原理。首先定义拉格朗日函数L(lagrangian function)

分析力学以广义坐标为描述质点系的变量,以虚位移原理和达朗贝尔原理为基础,运用数学分析方法研究宏观现象中的力学问题。1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力学》为这门学科奠定了基础。 1834年和1843年W.R.哈密顿建立了哈密顿原理和正则方程,把分析力学推进一步。1894年H.R.赫兹提出将约束和系统分成完整的和非完整的两大类,从此开始非完整系统分析力学的研究。分析力学的基本内容是阐述力学的普遍原理,由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方程,并研究这些方程本身以及它们的积分方法。近20年来,又发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。分析力学是经典物理学的基础之一,也是整个力学的基础之一。它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统机器人动力学以及各种工程技术领域,也可推广应用于连续介质力学相对论力学

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