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希尔伯特空间

在数学中,希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广,其不再局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿,希尔伯特空间也是一个内积空间,其上有距离和角的概念(及由此引申而来的正交性与垂直性的概念)。此外,希尔伯特空间还是一个完备的空间,其上所有的柯西序列等价于收敛序列,从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数傅立叶变换提供了一种有效的表述方式,而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。 [1]

大卫希尔伯特(David Hilbert,1862~1943)德国数学家,生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。中学时代,希尔伯特就是一名勤奋好学的学生,对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣,善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。1880年,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学。1884年获得博士学位,后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授。1893年被任命为正教授,1895年,转入哥廷根大学任教授,此后一直在哥廷根生活和工作,于1930年退休。在此期间,他成为柏林科学院通讯院士,并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学院的米塔格-莱福勒奖,1942年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间,他敢于公开发表文章悼念"敌人的数学家"达布。希特勒上台后,他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧,许多科学家被迫移居外国,曾经盛极一时的哥廷根学派衰落了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。

希尔伯特空间以大卫希尔伯特的名字命名,他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯诺伊曼在其1929年出版的关于无界厄米算子的著作中,最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。冯诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一,他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。此项研究由冯诺伊曼与希尔伯特和朗道展开,随后由尤金维格纳(Template:Lang)继续深入。“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受,例如在外尔1931年出版的著作《群与量子力学的理论》(Template:Lang)中就使用这一名词。

希尔伯特空间是欧几里德空间的直接推广。对希尔伯特空间及作用在希尔伯特空间上的算子的研究是泛函分析的重要组成部分。

设H是一个实的线性空间,如果对H中的任何两个向量x和y,都对应着一个实数,记为(x,y)、满足下列条件:

①对H中的任何两个向量x,y,有(x,y)=(y,x);

②对H中的任何三个向量x、y、z及实数α、β,有(αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z);

③对H中的一切向量x,均有(x,x)≥0,且(x,x)=0的充分必要条件是x=0。则(x,y)称为是H上的一个内积,而H称为内积空间。

如果定义

完备的内积空间称为希尔伯特空间,希尔伯特空间的概念还可以推广到复线性空间上。

欧几里德空间是希尔伯特空间的一个重要特例,希尔伯特空间的另一个最重要的特例是L(G),设G是n维欧几里德空间中的一个有界闭域, 定义在G上的满足G|f(x)|dx<+∞的勒具格可测函数全体记为L(G),在L2(G)中引入内积(f,g)=Gf (x)g(x)dx,则L(G) 是一个希尔伯特空间,L(G)是实用中最重要和最常用的希尔伯特空间。

希尔伯特空间有许多与欧几里德空间相似的性质,例如,在希尔伯特空间中,可以定义向量正交、正交和、正交投影的概念,柯西一许瓦兹不等式成立、勾股定理和投影定理成立。在可分希尔伯特空间中,存在着完全的标准正交系,希尔伯特空间中的任一向量可以依任一完全的标准正交系分解。

在泛函分析中,详细地研究了希尔伯特空间自共轭算子的理论,特别是自共轭算子的谱理论,这一理论在经典数学的不少领域中有广泛的应用。需要特别指出的是,自共轭算子的谱理论,为量子力学的发展,提供了适合的工具。

理论数学、应用数学和物理中的许多问题,在希尔伯特空间中,可得到较好的处理,因此,希尔伯特空间成为泛函分析中最重要的和最常用的一类空间,它在许多其他数学分支、理论物理和现代工程技术理论中,也得到了广泛的应用。 [2]

一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中,它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中,一个物理系统可以被一个复希尔伯特空间所表示,其中的向量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学描述相关的内容。量子力学中由平面波束缚态所构成的希尔伯特空间,一般被称为装备希尔伯特空间(rigged Hilbert space)。 [3]

在一个实向量空间或复向量空间H上的给定的内积 < x,y > 可以按照如下的方式导出一个范数(norm):

如果其对于这个范数来说是完备的,此空间称为是一个希尔伯特空间。这里的完备性是指,任何一个柯西序列都收敛到此空间中的某个元素,即它们与某个元素的范数差的极限为0。任何一个希尔伯特空间都是巴拿赫空间,但是反之未必。

任何有限维内积空间(如欧几里德空间及其上的点积)都是希尔伯特空间。但从实际应用角度来看,无穷维的希尔伯特空间更有价值。

内积可以帮助人们从“几何的”观点来研究希尔伯特空间,并使用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有的无穷维拓扑向量空间中,希尔伯特空间性质最好,也最接近有限维空间的情形。

傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基函数的和(可能是无穷和)。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为:任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基,而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基中的元素或其倍数的和。 [4]

n维欧几里得空间的推广,可视为“无限维的欧几里得空间”,是泛函分析的重要研究对象之一。在三维欧几里得空间中,任何两个向量之间规定了一个内积,它是建立三维欧几里得几何学的基础。有了内积,就有向量的长度、两个向量的交角和向量到直线或平面上的投影等等。这些普通而重要的几何概念及相应的研究方法,不仅被推广到n维空间,而且在许多不同的领域,例如积分方程、数学物理、三角级数或更一般的正交级数等理论中,被推广到由函数构成的无限维空间上去,成为研究有关问题的有力工具。第一个具体的希尔伯特空间最早是由D.希尔伯特在研究积分方程时首先提出的。他在平方可积的无穷实数列{xn}全体所组成的空间l中规定了内积,把空间l看作欧几里得空间向无限维的推广,从而有效地解决了一类积分方程求解及其本征展开的问题。不久,人们就建立了一般的希尔伯特空间理论,到20世纪30年代已取得了丰富的成果。希尔伯特空间在分析数学的各个领域中有着深厚的根基,也是描述量子物理的基本工具之一,它已经被广泛地应用于数学和物理的各个分支,如积分方程、微分方程、

过程、函数论、调和分析数学物理量子物理学等等。关于希尔伯特空间及其上的算子理论仍然是泛函分析的重要课题之一。

内积空间和希尔伯特空间

H是实数域或复数域C上的线性空间,如果对于H中任何两个向量xy都对应着一个数(x,y)∈C,并且满足下列条件:①正定性,对一切xH,(x,x)≥0,而且(x,x)=0当且仅当x=0;②线性,对xyzH和α,βC,成立(αx+βyz)=α(x,z)+β(y,z);③(共轭)对称性,对xyH成立(x,y)=(y,x)(实数域)或(x,y)=(y,x)的共轭(复数域);则称(x,y)为Hx,y的一个内积。定义了内积的空间H称为内积空间。在内积空间H中定义函数||x||=<x,x>的开方为x的范数(‖x‖即x的“长度”),这时,H成为一个赋范空间。如果作为赋范空间,H是完备的(见巴拿赫空间),就称H为希尔伯特空间。作为希尔伯特空间的例子,除了欧几里得空间和l空间以外,还有勒贝格平方可积函数空间 L^2[α,b](其中内积规定为(f,g)=f(t)g(t)(实数域)或f(t)乘以g(t)的共轭(复数域)在(αb)区间的积分,而αb也可为无限大)。在数学物理中越来越多地使用各种类型的希尔伯特空间。

平行四边形公式和柯西-施瓦茨不等式

在内积空间中,由内积导出的范数必满足类似于平面几何学中的平行四边形公式,即对H中任何xy

||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2);

反之,一个赋范线性空间H,若它的范数满足上述平行四边形公式,则这个范数必是由定义在H上的某个内积导出的范数。

内积还有重要的柯西-施瓦茨不等式:|(x,y)|<=||x||*||y|| [5]

正交与勾股定理

在希尔伯特空间H中,如果xy满足(x,y)=0,就称xy正交(或直交),记为xy。当xy时,成立勾股定理:||x+y||^2=||x||^2+||y||^2。如果xH子集M中任何元都正交,就称xM正交,记为xM。与M正交的所有元素的集合记为M

投影定理

希尔伯特空间理论中的一个基本定理。设M是希尔伯特空间H的凸闭子集,则对H中每个向量x,必存在M中惟一的y,使得||x-y||取到y在M中变化时的最小值。这个性质称为变分定理。特别,当MH的闭线性子空间时,z=x-y必与M正交,即对于闭线性子空间M,分解x=y+z不仅惟一,而且zy。这就是投影定理。其中,y称为xM中的投影(分量)。因为xM上的投影y是达到极小值的惟一解,所以这个结果不仅在理论研究中,而且在很多应用性科学,如近似理论(包括有限元方法)、预测理论、最优化等多方面均有着广泛的应用。

正交系

设{ek}是内积空间H中一族彼此不同的向量,如果其中任何两个向量都正交,即当kj时,(ek,ej)=0,则称{ek}是一正交系;如果其中每个向量的范数又都是1,即对一切k,(ek,ek)=1,则称{ek}是规范正交系。对于希尔伯特空间H的规范正交系{ek},如果包含{ek}的最小闭子空间就是H,就称{ek}为H的完备规范正交系。设{ek}是规范正交系,则H中任一向量 xek方向的投影,即x在{ek}生成的一维子空间上的投影,就是Σ(x,ek)ek;而x在{ek}生成的闭子空间M上的投影就是H。显然有||x||^2<=Σ|(x,ek)|^2,即向量 x在某个子空间M上的分量“长度”永不超过x的长度,它称为贝塞尔不等式。如果{ek}是完备规范正交系,那么成立着

x=Σ(x,ek)ek(傅里叶展式),

||x||^2=Σ|(x,ek)|^2(帕舍伐尔等式)。

傅里叶展开是古典分析中傅里叶级数或一般正交级数展开的推广。

里斯表示定理

希尔伯特空间H上每个连续线性泛函F,对应于惟一的yH,使F(x)=(x,y),并且||F||=||y||,这就是里斯的连续线性泛函表示定理。因此,希尔伯特空间的共轭空间与自身(保持范数不变地)同构(实际上是一种共轭线性同构),即H=H*。这个结果在希尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用。 [2]

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