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极小曲面(物理学概念)

数学中,极小曲面是指平均曲率为零的曲面。举例来说,满足某些约束条件的面积最小的曲面。 物理学中,由最小化面积而得到的极小曲面的实例可以是沾了肥皂液后吹出的肥皂泡。肥皂泡的极薄的表面薄膜称为皂液膜,这是满足周边空气条件和肥皂泡吹制器形状的表面积最小的表面。

平均曲率为零的曲面。平均曲率定义为:其中

极小曲面的经典例子包括:

1)欧几里得平面,无特别约束条件下最平常的极小曲面;

2)悬链曲面:由悬链线围绕其水平准线旋转而得到的曲面。这是最早发现的“不寻常”的极小曲面。悬链曲面状的皂液膜可以由将两个等大的圆环紧贴放入肥皂水中,拿出后再缓慢分开得到;

3)螺旋曲面:一个线段沿着垂直于其中点的直线匀速螺旋上升时扫过的曲面。这是继悬链曲面后发现的第二种不寻常的极小曲面;

4)恩内佩尔曲面

给定一个嵌入曲面,或更一般的,一个浸入曲面(其边界一般固定,但不一定有界),定义其平均曲率如下:

极小曲面上的布朗过程可以用于某些极小曲面相关定理的概率证明。

著名的普拉托实验是把围成封闭曲线的金属丝放入肥皂溶液中,然后取出来,由于表面张力的作用,在它上面就蒙有表面积最小的薄膜。这种表面积最小的曲面就是所谓极小曲面,从数学上求这膜曲面的问题称为普拉托问题。这个问题可以用变分法来解 [2]

从变分学观点看,可以考虑以已知闭曲线Γ为固定边界的曲面的法向变分。由欧拉-拉格朗日方程(见变分法),对于任何这样的变分,曲面面积达到临界值的充要条件是曲面的平均曲率

在三维欧氏空间

通常称它为极小曲面方程。

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