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辛几何

辛几何(symplectic geometry)与代数几何和微分几何是平行的三个数学分支,是研究辛流形(symplectic manifold)的几何与拓扑性质的学科。它的起源和物理学中的经典力学关系密切,也与数学中的代数几何数学物理,几何拓扑等领域有很重要的联系。 不同于微分几何中的另一大分支--黎曼几何,辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何,而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念。这使得辛几何的研究带有很大的整体性。

辛几何(Symplectic geometry),也叫辛拓扑(Symplectic topology),是微分几何的一个分支。其研究对象为辛流形,亦即带有非退化2-形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿表述,其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。

辛拓扑和研究有非退化对称2阶张量(称为度量张量)的流形的黎曼几何有一些相似和不同之处。不像黎曼的情况,辛流形没有像曲率那样的局部不变量。这是达布定理的一个结果,表明每一对辛流形是局部同构的。另一个和黎曼几何的区别是不是所有的微分流形可以接受一个辛形式;有一些特定的拓扑限制。首先,流形必须是偶数维的。辛拓扑的很多工作就是以研究哪些流形可以有辛结构为中心的。

每个凯勒流形也是一个辛流形。直到1970年代,辛专家们还不确信是否有任何紧非Khler辛流形存在,但从那以后又很多例子被构造出来(第一个由William Thurston给出);特别的,Robert Gompf证明每个有限表示群都可以作为辛4维流形的基本群出现,这和凯勒的情形完全不同。

可以说大部分辛流形都是非凯勒的;所以没有和辛形式相容的可积复结构。但是 Mikhail Gromov给出了一个重要的发现,就是辛流形可以接受很多相容的殆复结构,所以它们满足复流形的所有假设,"除了"坐标变换函数必须是全纯的这一条。

以几乎复结构相容的映射到辛流形的黎曼曲面称为伪全纯曲线,格罗莫夫证明了该类曲线的紧致性定理;这个结构导致了辛拓扑一个很大的子学科的发展。从格罗莫夫的理论产生的结果包括关于的辛嵌入的格罗莫夫非压缩定理,和关于哈密顿流的不动点的个数的阿尔诺德的一个猜想的证明。这是由从Andreas Floer开始的几个研究者(逐步推广到更一般的情形)所证明的,Floer用格罗莫夫的方法引入了现在称为Floer同调的概念。

伪全纯曲线也是辛不变量的一个来源,这种不变量称为Gromov-Witten不变量,原则上可以用来区分两个不同的辛流形。 [1]

设M是一个2n维微分流形,称一个二次微分形式ω叫做M上的一个辛结构(symplectic structure)或辛形式,如果ω满足

ω是一个闭形式,即dω=0。

ω是非退化的,即ωn(ω的n次外积)是一个处处非零的2n次微分形式。

我们称(M,ω)为一个辛流形。简单的说,辛几何就是研究辛流形的性质的一种几何,一般认为属于微分几何的范畴。 [2]

达布定理是辛几何中第一个重要的定理。它断言辛流形上任意一个点附近存在一个局部坐标系,使得辛形式在这组坐标系下是欧式空间的标准的辛形式。这样的坐标系被称为达布坐标系。这说明不同于黎曼几何,辛几何中并没有曲率这样的局部概念,而辛流形的所有性质应该都是整体的。

类比于达布定理,Alan Weinstein证明,任何嵌入的拉格朗日子流形L都有一个管状邻域,使得辛形式在这个邻域的限制等价于L的余切丛上的典则的辛形式。这样的邻域被称为Weinstein邻域。 [2]

辛几何发展的里程碑是在1985年,俄罗斯数学家格罗莫夫(M. Gromov)引入了拟全纯曲线(Pseudo-holomorphic curve)的概念 [3] ,证明了譬如不可压缩定理(Non squeezing theorem)等一些非常奇妙的定理。这套理论后来发展成为格罗莫夫-威腾不变量(Gromov-Witten invariant),弗洛尔同调(Floer homology)等在辛几何中非常重要的理论。

前苏联数学家阿诺德(V. I. Arnold)猜测紧致辛流形的辛自同构至少要有一定数目的不动点,并将不动点的数目估计同拓扑学中的莫尔斯不等式做类比。 [4] 这个猜测成为辛几何在二十世纪最后20年的指导性纲领。德国数学家弗洛尔(Andreas Floer)为证明阿诺德猜测,引入了弗洛尔同调的概念,成为辛几何领域的重要工具。 [1]

在弦理论中,物理学家发现卡拉比-丘流形(一类特别的辛流形)存在一种被称为“镜像对称”的现象,即一个卡拉比-丘流形的复几何性质对应着另一个卡拉比-丘流形(它的镜像流形)的辛几何性质。这个观点极大的影响了1990年代之后的辛几何的研究。其中1998年菲尔兹奖得主孔采维奇(Maxim Kontsevich)提出的“同调镜像对称”猜想,日本几何学家深谷贤治(Kenji Fukaya)提出的“深谷范畴”等在现代辛几何的研究中都有非常重要的意义。

紧的微分流形存在辛结构的一个阻碍是可定向和第二个上同调群的秩非零。

一大类紧的辛流形来源于复代数几何,譬如,n维复射影空间都存在一个标准的辛形式(称为Fubini-Study形式);Fubini-Study形式限制在任何光滑的复射影簇上都是一个辛形式。更一般的,任何Kaehler流形都是辛流形。

任何微分流形的余切丛上都有一个典则的辛形式。这是一大类非紧的辛流形。事实上余切丛可以看作经典力学的相空间,而一般的辛流形则是它的推广。 [5]

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