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运动方程

运动方程是描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系的数学表达式。其建立方法主要有5种,包括牛顿第二定律、D’Alembert 原理、虚位移原理、Hamilton原理和Lagrange方程。

运动方程是描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系的数学表达式。

质点体系的运动方程:

多自由度体系的运动方程:

运动方程建立主要由以下五种方法,以 右图的单质点体系运动为例。

牛顿第二定律

根据单质点体系的受力分析可以直接写出该单质点体系的运动方程:

牛顿第二定律的优点:

牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用,以人们最容易接受的力学知识建立体系的运动方程。

D’Alembert原理(直接动力平衡法)

在体系运动的任一瞬时,如果除了实际作用结构的主动力(包括阻尼力)和约束反力外,再加上(假想的)惯性力,则在该时刻体系将处于假想的平衡状态(动力平衡)。

D’Alembert原理的优点

静力问题是人们所熟悉的,有了D’Alembert 原理之后,形式上动力问题就变成了静力问题,静力问题中用来建立控制方程的方法,都可以用于建立动力问题的平衡方程,使对动力问题的思考有一定的简化。对很多问题,D’Alembert原理是用于建立运动方程的最直接、最简便的方法,建立了动力平衡(简称:动平衡)的概念。

虚位移原理

虚位移原理:在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时,外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。

虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。设体系发生一个虚位移du,则平衡力系在du上做的总虚功为:

其中,

虚位移原理的优点:

虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之上,而虚功是一个标量,可以按代数方式运算,因而比Newton第二定律,或D’Alembert原理中需要采用的矢量运算更简便。

Hamilton原理

可以应用变分法(原理)建立结构体系的运动方程。在数学上,变分问题就是求泛函的极值问题。在这里,泛函就是结构体系中的能量(功)。

体系的平衡位置是体系的稳定位置,在稳定位置,体系的能量取得极值,一般是极小值。

Hamilton原理:在任意时间区段[t1, t2]内,体系的动能和位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。

其中:

Hamilton原理的优点:

不明显使用惯性力和弹性力,而分别用对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲,仅涉及处理纯的标量,即能量。而在虚位移中,尽管虚功本身是标量,但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。

Lagrange方程

Hamilton原理是一种积分形式的动力问题的变分方法,实际还有另外与之等价的微分形式的动力问题的变分原理,就是运动的Lagrange方程,其表达式如下:

其中:

Lagrange方程的优点:

得到更多的应用,它和Hamilton原理一样,除非保守力(阻尼力)外,是一个完全的标量分析方法,不必直接分析惯性力和保守力(主要是弹性恢复力),而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象。 [1]

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